miércoles, 28 de marzo de 2012
miércoles, 21 de marzo de 2012
Permutación
En matemáticas, llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1"
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Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
1 → 1
2 → 2
3 → 3
puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
1 → 3
2 → 2
3 → 1
puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
Sin embargo, con la intención de dar una mayor claridad y amenidad a lo que estaremos estudiando aquí, se utilizará una representación equivalente complementada con varios colores que nos ayudarán a distinguir mejor cada movimiento que se estará llevando a cabo sobre los elementos individuales. De este modo, la anterior representación será manejada del modo siguiente:
Ahora llevaremos a cabo una permutación de elementos, la cual identificaremos con el símbolo k. Todos los cambios los llevaremos a cabo en el renglón inferior, mientras que el renglón superior permanecerá inalterado. El elemento que está en la posición 1 será relocalizado a la posición 5, el elemento que está en la posición 2 se dejará en su mismo lugar, el elemento que está en la posición 3 será relocalizado a la posición 4, el elemento que está en la posición 1 será relocalizado a la posición 1, el elemenpo que está en la posición 5 será relocalizado a la posición 3, y el elemento que está en la posición 6 se dejará en su mismo lugar. Una vez que se han llevado a cabo estos movimientos, nuestro arreglo rectangular presentará el siguiente aspecto:
8span style="color: lime; font-family: 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;">
Combinación
Combinación
Una combinación de "n" objetos diferentes tomados de "r en r" es una selección de r de los n
objetos. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r se representa como
Y viene dado por:
donde el símbolo ! denota factorial
Por ejemplo, el numero de combinaciones de las letras a, b, c, tomadas de dos en dos es:
Donde:
n = Número total de letras
r = Número de letras tomadas a la vez
El resultado indica que hay 3 posibles combinaciones de las letras a, b, c, y éstas combinaciones son:
Si ahora tuviéramos 4 letras: a, b, c, d y queremos saber cuantas combinaciones podemos hacer entre ellas tomándolas de dos en dos tendríamos:
Haciendo uso de estos conceptos y teniendo en cuenta que las probabilidades dadas por las 10 personas tienen el mismo valor, o sea P(A1) = P(A2) = P(A3) = ... .....= P (A10) = 1/2, tenemos:
 
Substituyendo valores:
   
|
Factorial
Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n.
Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n
La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.
La función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dos métodos, al iterativa, es decir, realiza un bucle en el que se multiplica una variable temporal por cada número natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.
Por ejempho: El factorial de 4 será 4! = 4x3x2x1 = 24
El factorial de 6 será 6! =6x5x4x3x2x1= 720, etc.
Conviene saber que por definición 0! = 1
lunes, 19 de marzo de 2012
nuestra exposición
¢Población:
Es el universo de individuos al cual se
refiere el estudio que se pretende realizar.
¢Muestra:
Subconjunto de la población cuyos valores
de la variable que se pretende analizar son conocidos.
¢Variable:
Rasgo o característica de los elementos
de la población que se pretende analizar.
¢Variables
cualitativas: No aparecen en forma numérica, sino
como categorías o atributos. Ejemplos: sexo, color de los ojos, profesión,
potabilidad del agua, tipo de carburante, origen animal de la leche, etc. Se
clasifican a su vez en:
¢Cualitativas
nominales: Miden características que no toman
valores numéricos. A estas características se les llama modalidades. Ejemplo:
Si se desea examinar el origen animal de una serie de productos lácteos
considerados para un estudio, las modalidades podrían ser: Vaca, Oveja,
Cabra,...
¢Cualitativas
ordinales: Miden características que no toman
valores numéricos pero sí presentan entre sus posibles valores una relación de
orden. Ejemplos: nivel de estudios: sin estudios, primaria, secundaria, etc.
miércoles, 7 de marzo de 2012
MEDIANA
Definición de mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuacionas centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.
El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición.
Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.
Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muestrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.
Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias.
Si tenemos una población normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal
MUESTRA ESTADÍSTICA
En estadística una muestra estadística (también llamada muestra aleatoria o simplemente muestra) es un subconjunto de casos o individuos de una población estadística.
Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma. Para cumplir esta característica la inclusión de sujetos en la muestra debe seguir una técnica de muestreo. En tales casos, puede obtenerse una información similar a la de un estudio exhaustivo con mayor rapidez y menor coste.
Por otra parte, en ocasiones, el muestreo puede ser más exacto que el estudio de toda la población porque el manejo de un menor número de datos provoca también menos errores en su manipulación. En cualquier caso, el conjunto de individuos de la muestra son los sujetos realmente estudiados.
El número de sujetos que componen la muestra suele ser inferior que el de la población, pero suficiente para que la estimación de los parámetros determinados tenga un nivel de confianza adecuado. Para que el tamaño de la muestra sea idóneo es preciso recurrir a su cálculo.
TIPOS DE POBLACIÓN
Existen distintos tipos de poblaciones que son:
Población base: es el grupo de personas designadas por las siguientes características: personales, geográficas o temporales, que son elegibles para participar en el estudio.
Población muestreada: es la población base con criterios de viabilidad o posibilidad de realizarse el muestreo.
Muestra estudiada: es el grupo de sujetos en el que se recogen los datos y se realizan las observaciones, siendo realmente un subgrupo de la población muestreada y accesible. El número de muestras que se puede obtener de una población es una o mayor de una.
Población diana: es el grupo de personas a la que va proyectado dicho estudio, la clasificación característica de los mismos, lo cual lo hace modelo de estudio para el proyecto establecido.
MEDIA ARMÓNICA
La media armónica , representada por H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos números
Así, dados los números a1,a2, … , an, la media armónica será igual a:
H = n / (1/a1 + 1/a2 ……+ 1/ an)
La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de la existencia en el conjunto de valores nulos.
Otras medias estadísticas son la media geométrica, la media aritmética y la media ponderada.
EL DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA
Es una técnica estadística para representar un conjunto de datos. Cada valor numérico se divide en dos partes. El o los dígitos principales forman el tallo y los dígitos secundarios las hojas. Los tallos están colocados a lo largo del eje vertical, y las hojas de cada observación a lo largo del eje horizontal
Temas vistos en clase
HISTOGRAMA
En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
En términos matemáticos, puede ser definida como una función inyectiva (o mapeo) que acumula (cuenta) las observaciones que pertenecen a cada subintervalo de una partición. El histograma, como es tradicionalmente entendido, no es más que la representación gráfica de dicha función.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Un polígono de frecuencia es un gráfico que se realiza a través de la unión de los puntos más altos de las columnas en un histograma de frecuencia (que utiliza columnas verticales para mostrar las frecuencias).
Los polígonos de frecuencia para datos agrupados, por su parte, se construyen a partir de la marca de clase que coincide con el punto medio de cada columna del histograma. Cuando se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados, se obtiene un histograma defrecuencias acumuladas, que permite diagramar su correspondiente polígono.
Por ejemplo: un polígono de frecuencia permite reflejar las temperaturas máximas promedio de un país en un periodo de tiempo. En el eje X (horizontal), pueden señalarse los meses del año (enero, febrero, marzo, abril, etc.). En el eje Y (vertical), se indican las temperaturas máximas promedio de cada mes (24º, 25º, 21º…). El polígono de frecuencia se crea al unir, con un segmento, todas las temperaturas máximas promedio.
Los polígonos de frecuencia se suelen utilizar cuando se desea mostrar más de unadistribución o la clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta en un mismo gráfico.
El punto con mayor altura de un polígono de frecuencia representa la mayor frecuencia, mientras que el área bajo la curva incluye la totalidad de los datos existentes. Cabe recordar que la frecuencia es la repetición menor o mayor de un suceso, o la cantidad de veces que un proceso periódico se repite por unidad de tiempo.
FRECUENCIA RELATIVA
La definición moderna de probabilidad basada en la axiomática de Kolmogorov (presentada anteriormente) es relativamente reciente. Históricamente hubo otros intentos previos de definir el escurridizo concepto de probabilidad, descartados por diferentes razones. Sin embargo conviene destacar aquí algunas ideas que aparecen en la antigua definición basada en la frecuencia relativa,ya que permiten intuir algunas profundas propiedades de la probabilidad.
Recordemos antes que si en un experimento que se ha repetido n veces un determinado suceso A se ha observado en k de estas repeticiones, la frecuencia relativa fr del suceso A es:
fr = k/n
El interés por la frecuencia relativa y su relación con el concepto de probabilidad aparece a lo largo de los siglos XVIII a XX al observar el comportamiento de numerosas repeticiones de experimentos reales.
A título de ejemplo de un experimento de este tipo, supongamos que se dispone de una moneda ideal perfectamente equilibrada. Aplicando directamente la regla de Laplace resulta claro que el suceso A = obtener cara tiene probabilidad:
p(A) = 1/2 = 0,5
HISTOGRAMA
En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
En términos matemáticos, puede ser definida como una función inyectiva (o mapeo) que acumula (cuenta) las observaciones que pertenecen a cada subintervalo de una partición. El histograma, como es tradicionalmente entendido, no es más que la representación gráfica de dicha función.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Un polígono de frecuencia es un gráfico que se realiza a través de la unión de los puntos más altos de las columnas en un histograma de frecuencia (que utiliza columnas verticales para mostrar las frecuencias).
Los polígonos de frecuencia para datos agrupados, por su parte, se construyen a partir de la marca de clase que coincide con el punto medio de cada columna del histograma. Cuando se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados, se obtiene un histograma defrecuencias acumuladas, que permite diagramar su correspondiente polígono.
El punto con mayor altura de un polígono de frecuencia representa la mayor frecuencia, mientras que el área bajo la curva incluye la totalidad de los datos existentes. Cabe recordar que la frecuencia es la repetición menor o mayor de un suceso, o la cantidad de veces que un proceso periódico se repite por unidad de tiempo .
FRECUENCIA RELATIVA
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